Формула Сімпсона

Вступ
Обчислювальну техніку останніми разами широко застосовують у всіх сферах діяльності людини. Вона стала каталізатором науково–технічного процесу.
Історія розвитку обчислювальної техніки починається з 1945 року, коли американський вчений Фал Нейман та інші визначили основні принципи побудови ЕОМ (так звані основні принципи програми управління).
У 1946 р. в Пенсильванському університеті було побудовано першу машину – “Машину 1-го покоління”. Найхарактернішою ознакою цих машин було використання електричних ламп. Потім з’явилися зовнішні запам’ятовуючі пристрої – пристрої вводу інформації. Лампові машини мали великі габарити, у них була мала ємкість оперативної пам’яті, було слабке математичне забезпечення. Пізніше з’явилися напівпровідникові пристрої. Ці машини були більш надійними, мали менші габарити. На початку 60-тих років була розроблена технологія виробництва інтегральних схем. Це вирішило проблеми надійності і цінноссті машин ЕОМ.
З 1968 р. Починається ІІІ покоління ЕОМ. Використовується постійна пам’ять. Важливим кроком в цьому поколінні є використання дисплея, з’явилась уже клавіатура. З середини 80-тих років поряд з машинами ІІІ-го покоління з’являються машини ІV-го покоління. Характерною особливістю ІV-го покоління є використання інтегральних систем.
Обчислювальні машини можна використовувати ефективно лише за умови глибокого знання чисельних методів математики.
Бурхливий розвиток ЕОМ сприяв широкому процесу математизації науки, техніки і господарства в цілому. Саме розробка і застосування математичних методів розв’язування прикладних задач на базі ЕОМ є предметом сучасної прикладної математики.
Математика – одна з найдавніших наук – виникла з практичних потреб людини.
Застосування швидкодіючих ЕОМ для розв’язування складних прикладних задач сформувало новий спосіб проведення теоретичних досліджень на базі математичних моделей – обчислювальний експеримент.
Виділяють 5 етапів технологічного циклу обчислювального експерименту, побудова математичної моделі задачі, розробка методу розв’язування математичної моделі, програмування, розрахунки на ЕОМ, аналіз результатів розрахунків і застосування.
Завдяки обчислювальному експерименту вдалося розв’язати не тільки багато важливих прикладних задач, а й перевірити гіпотези класичної математики.
Відомо топологічною задачею є проблема 4-рьох фарб. Ця гіпотеза була підтверджена в 1976 р. американським математиком Аппелем і Хакеном за допомогою ЕОМ.


Виведення формули Сімпсона.
Щоб побудувати триточкову квадратурну формулу з рівновіддаленими вузлами для обчислення наближеного значення , де f(x) – неперервна на [x0-h; x0+h] разом зі своїми похідними до четвертого порядку включно, можна використати інтерполеційний многочлен Лагранжа 2-го порядку, графік якого проходить через точки (x0-h; f(x0-h)),(x0; f(x0)) і (x0+h; f(x+h)) і проінтегрувати його по х у межах від х0-h до x0+h.
Проте таку квадратурну формулу будуватимемо тут, користуючись методом невизначених коофіцієнтів. Цей метод, крім того, дає змогу досить просто обчислити її залишковий член. Отже, побудуємо квадратурну формулу вигляду: 1, де А і В – невідомі коофіцієнти, а R(f) – залишковий член.
Щоб дістати рівняння, з яких можна визначити коофіцієнти А і В, подамо функції f(x), f(x0-h) i f(x0+h) в околі точки х0 за допомогою формули Тейлора. Маємо:
, ,
,
.
Підставляючи ці значення функції f(x),f(x0-h).f(x0+h) у формулу 1 і беручи до уваги, що , (тут за загальною теоремою про середнє , для залишкового члена R(f) дістанемо:
.
Невідомі коофіцієнти А і В доберемо так, щоб
Звідси знаходимо .
За цих значень А і В залишковий член квадратурної формули 1.
.
Але f(iv) неперервна на [х0-h,x0+h], тому існує точка [x0-h,x0+h] така, що
Отже, , 2
Таким чином, триточкову квадратурну формулу 1 можна записати так:
3
Це і є квадратурна формула Сімпсона; або формула парабол із залишковим членом. Вона точна для многочлена третього степеня, бо похідна четвертого порядку від такого многочлена дорівнює 0.3 формули 2 легко знайти таку оцінку для абсолютної похибки чисельного інтегрування за формулою Сімпсона: .
Якщо треба обчислити з достатньою точністю, то відрізок [a,b] ділять на 2n рівних відрізків завдовжки і до кожного з відрізків [x2k;x2k+2],(k=0,1,…,n-1) застосовують формулу Сімпсона 3.
Тоді , де .
Оскільки f(iv)(x) не перервна на відрізку [a;b], то існує точка така, що .
Таким чином дістанемо узагальнену формулу Сімпсона із залишковим членом вигляду:
. 4
Залишковий член узагальненої формули Сімпсона:
5
Звідси дістаємо таку оцінку абсолютивної похибки чисельного інтегрування за узагальненою формулою Сімпсона:
,
6
Якщо наближене значення інтеграла треба обчислити з точністю , то відповідний крок інтегрування визначається нерівністю , або, що те саме відрізок [a;b] треба поділити на n рівних частин, де
7
За узагальненою формулою Сімпсона обчислимо наближене значення інтеграла з кроком h=0.1 і оцінимо повну абсолютну похибку .
Користуючись цією таблицею
k | xk | fk=f(xk) | k | xk | fk=f(xk)
0 | 0 | 0 | 6 | 0,6 | 0,4952014
1 | 0,1 | 0,0995004 | 7 | 0,7 | 0,5355896
2 | 0,2 | 0,1960133 | 8 | 0,8 | 0,5573654
3 | 0,3 | 0,2866010 | 9 | 0,9 | 0,5594490
4 | 0,4 | 0,3684244 | 10 | 1,0 | 0,5403023
5 | 0,5 | 0,4387913
за формулою знайдемо: Іан = 0,38177448 ? 0,3817745.
Щоб оцінити залишковий член R(f) формули Сімпсона за формулою , треба знайти похідну четвертого порядку функції f(x)=xcosx. Маємо: , звідки
Тому для залишкового члена R(f) за формулою 6 (a=0;b=1;h=0.1M4=5)дістанемо |R(f)|?0.278х10-5.
Похибка остаточного округлення ?0=0.2х10-7, а неусувна похибка , бо , а значення підінтегральної функції f у вузлах xk(k=0.1,…,10) обчислювали з точністю 0.5х10-7 тобто ?f=0.5х10-7.
За формулою для повної абсолютної похибки чисельного інтегрування функції f(x)=xcosx знаходимо таку оцінку:
?І=0.278х10-5+0.5х10-7+0.2х10-7=0.285х10-5<0.3х10-5.
Отже, обчислення за формулою Сімпсона для n=10,h=0.1 наближене значення інтервала має значення п’ять правильних значущих цифр, тобто . найбільший внесок у повну абсолютну похибку узагальненої формули Сімпсона вносить залишковий член R(f). Тому для визначення кількості відрізків n розбиття [a;b], яке гарантує обчислення наближеного значення інтеграла з точністю , досить скористатися формулою .
Звичайно, всі проміжні обчислення при цьому слід проводити з точністю, більшою за .
Наприклад, щоб обчислити наближене значення інтеграла з точністю , треба відрізок [0;1] поділити не менш як на три рівні частини, бо за формулою 7 (a=0,b=1,M4=5) маємо .
Обчислимо інтеграл за формулою:
, поклавши n=2,4,8,16 (це відповідає n=0,25;0,125;0,0625;0,03125).
Знайдемо І2=0,38182200; І4=0,3817763; І8=0,38177346; І16=0,38177333. А це означає, що І2 має три, І4 – п’ять, І8 – шість правильних значущих десяткових цифр.
Що ж до І16, то тут усі вісім цифр правильні.
ПРИКЛАД 1: .


program integral: {інтеграл розв’язаний методом Сімпсона}
cons a=0:b=1:h=0.01;
var
n,s:real;
i: integer;
begin
s:=cos(a)*exd(cos(2*a))+cos(b)*exd(cos(2*b));
n:=(b-a)/h;
i:=1;
while i<=n-1 do
begin
s:=s+4*cos(a+i*h)*exd(cos(2*(a+i*h)));
i:=i+2;
end;
i:=2;
while i<=n-2 do
begin
s:=s+2*cos(a+i*h)*exd(cos(2*(a+i*h)));
i:=i+2;
end;
s:=(s*h)/3;
writeln(‘’);
writeln(‘Результат’);
writeln(‘За методом Сімпсона значення інтегралу’);
writeln(‘І= . s:1:6’);
writeln(‘’);
end.
Результат:
За методом Сімпсона значення інтегралу:
І=1.546057


Висновок
Дана курсова робота дала мені можливість набути теоритичних і практичних знань по обчисленню інтегралів методом Сімпсона.


Використана література
К. П. Баглаєв – “Обчислювальна математика та програмування” М., 1990
Гаврилюк – “Чисельні методи”
Коломийський коледж комп”ютерних наук

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать