Предмет, особливості та сфери застосування математичного програмування в економіці. Класифікація задач

План.
Складання математичних моделей економічних задач.
Література


Складання математичних моделей економічних задач.
Для виготовлення трьох видів виробів А, В і С використовується токарне, фрезерне, зварювальне та шліфувальне обладнання. Витрати часу на обробку одного виробу для кожного з типів обладнання вказані в табл. 1. В цій таблиці також вказано загальний фонд робочого часу кожного з типів використовуваного обладнання, а також прибуток від реалізації одного виробу кожного виду.
Таблиця 1.
Тип обладнання | Витрати часу на обробку одного виробу виду | Загальний фонд робочого часу обладнання
А | В | С
Фрезерне | 2 | 4 | 5 | 120
Токарне | 1 | 8 | 6 | 280
Зварювальне | 7 | 4 | 5 | 240
Шліфувальне | 4 | 6 | 7 | 360
Прибуток | 10 | 14 | 12

Необхідно визначити, скільки виробів і котрого виду потрібно виготовити підприємству, щоб прибуток від їх реалізації був максимальним. Скласти математичну модель задачі.
Розв’язання. Допустимо, що було виготовлено x1 одиниць виробів виду А, x2 одиниць – виду В і x3 одиниць – виду С. Тоді, для виготовлення такої кількості виробів потрібно витратити 2x1 +4x2 +5x3 станко-годин фрезерного обладнання.
Так, як загальний фонд робочого часу станків даного типу не може перевищувати 120, то повинна виконуватись нерівність

Аналогічні роздуми відносно можливого використання токарного, зварювального та шліфувального обладнання приведуть до слідуючи нерівностей:
При цьому так як кількість виготовлених виробів не може бути від’ємною, то
(1)
Далі, якщо буде виготовлено x1 одиниць виробів виду А, x2 одиниць виробів виду В і x3 одиниць виробів виду С, то прибуток від їх реалізації складає F = 10x1 + 14x2 + 12x3.
Таким чином, приходимо до наступної математичної задачі: дана система
(2)
чотирьох лінійних нерівностей з трьома невідомими і лінійна функція відносно цих змінних
F = 10x1 + 14x2 + 12x3;
Необхідно серед всіх невід’ємних рішень системи нерівностей (2) знайти таке, при якому функція (3) приймає максимальне значення. Як це зробити, буде показано нижче.
Лінійна функція (3), максимум котрої потрібно визначити, разом з системою нерівностей (2) та умовою невід’ємності змінних (1) складають математичну модель вихідної задачі.
Так як функція (3) лінійна, а система (2) містить тільки лінійні нерівності, то задача (1) – (3) є задачею лінійного програмування.
Продукцією міського молочного заводу є молоко, кефір, сметана, розфасовані у пляшки. На виробництво 1 т молока, кефіру та сметани необхідно відповідно 1010, 1010 і 9450 кг молока. При цьому витрати робочого часу при розливі 1 т молока та кефіру складають 0,18 та 0,19 машино - год. На розфасовці 1 т сметани зайняті спеціальні автомати на протязі 3,25 год. Всього для виробництва цільномолочної продукції завод може використовувати 136000 кг молока. Основне обладнання може бути зайняте на протязі 21,4 машино – год., а автомати по розфасовці сметани – на протязі 16,25 год. Прибуток від реалізації 1 т молока, кефіру та сметани відповідно дорівнює 30, 22 та 136 грн. Завод повинен кожний день виготовляти не менше 100 т молока, розфасованого у пляшках. На виробництво іншої продукції немає ніяких обмежень.
Потрібно визначити, яку продукцію та в якій кількості потрібно кожний день виготовляти заводу, щоб прибуток від її реалізації був максимальним.
Скласти математичну модель задачі.
Розв’язування: допустимо, що молочний завод буде кожний день виготовляти тон молока, тон кефіру і тон сметани. Тоді йому для виготовлення цієї продукції необхідно 1010+1010+9450тон молока.
Так як завод може використовувати кожний день не більше 136000 т молока, то повинна виконуватись нерівність
Аналогічні роздуми, проведені відповідно можливого використання ліній розливу цільномолочної продукції та автоматів по розфасовці сметани, дозволяється писати наступні нерівності:
Так як кожний день повинно виготовлятися не лише 100 т молока, то Далі, по своєму економічному змісту змінні можуть приймати лише тільки невід’ємні значення : Загальний прибуток від реалізації т молока, т кефіру і т сметани дорівнює грн. Таким чином, приходимо до наступної математичної задачі: дана система
(4)
чотирьох лінійних нерівностей з трьома невідомими та лінійна функція відносно цих же змінних
(5)
потрібно серед всіх невід’ємних розв’язків системи нерівностей (4) знайти таке, при якому (котрому) функція (5) приймає максимальне значення. Так як система (4) представляє собою сукупність лінійних нерівностей і функція (5) лінійна, то вихідна задача є задачею лінійного програмування.
На швейній фабриці тканина може бути розкроєна декількома способами для виготовлення потрібних деталей швейних виробів. Нехай при j – у варіанті розкрою 100 тканини виготовляється деталей i –го виду , а величина відходів при даному варіанті розкрою дорівнює . Знаючи, що деталей i – го виду потрібно виготовляти штук потрібно розкроїти тканину так, щоб була отримана необхідна кількість деталей кожного виду при мінімальних загальних відходах. Скласти математичну модель задачі.
Розвязування: допустимо, що по j – му варіанту розкроюється сотень тканини. Оскільки при розкроюванні 100 тканини по j – му варіанті виходить від деталей i – го виду, по всім варіантам розкрою з використовуючих тканин буде отримано
деталей i – го виду. Так як має бути виготовлено деталей даного виду, то
Загальна величина відходів по всім варіантам розкрою тканини складає
Таким чином, приходимо до наступної математичної задачі: знайти мінімум функції
(6)
при умові, що її змінні задовольняють систему рівнянь
(7)
і умову невід’ємності .
Сформульована задача є задачею лінійного програмування, так як функція (6) лінійна, а система (7) містить тільки лише лінійні рівняння.
Складіть математичні моделі задачі.
У трьох пунктах відправлення зосереджений однорідний вантаж в кількості, рівній 420, 380 та 400 т . Цей вантаж необхідно перевезти у три пункти призначення в кількості, відповідно рівних 260, 520 та 420 т . Вартості перевезення 1 т вантажу з кожного пункту відправлення в кожний пункт призначення є відомими величинами і задається матрицею
Знайти план перевезень, який забезпечує вивіз наявного в пунктах відправлення і завіз необхідного в пунктах призначення вантажу при мінімальній загальній вартості перевезень.
Кондитерська фабрика для виробництва трьох видів карамелі A, B, C використовує три види основної сировини: цукор, патоку та фруктове пюре. Норми використання кожного виду на виробництво 1 т карамелі даного виду наведені в таблиці.
В ній також вказана кількість сировини кожного виду, яка може бути використана фабрикою та наведений прибуток від реалізації 1 т карамелі даного виду.
Вид сировини | Норми витрат сировини (т) на 1 т карамелі | Загальна кіль -
кість сировини (т)
А | В | С
Цукор | 0,8 | 0,5 | 0,6 | 800
Патока | 0,4 | 0,4 | 0,3 | 600
Фруктове пюре | - | 0,1 | 0,1 | 120
Прибуток від реалізації 1 т продукції (грн.) |
108 |
112 |
126
Знайти план виготовлення карамелі, яка забезпечує максимальний прибуток від її реалізації.
При відгодівлі тварин кожна тварина на кожний день повинна отримати не менше 60 од. поживної речовини А, не менше 50 од. речовини В і не менше 12 од. речовини С. Вказані поживні речовини містять три види корму. Вміст одиниць поживних речовин в 1 кг кожного з видів корму наведено в наступній таблиці:
Поживні речовини | Кількість одиниць поживних речовин в 1 кг корму виду
I | II | III
А | 1 | 3 | 4
В | 2 | 4 | 2
С | 1 | 4 | 3
Скласти денний раціон, який забезпечує отримання необхідної кількості поживних речовин при мінімальних грошових затратах, якщо ціна 1 кг корму I виду складає 9 коп., корму II виду – 12 коп. і корму ІІІ виду – 10 коп.
В m пунктах можуть бути розміщені підприємства, які виготовляють деяку однорідну продукцію. Ця продукція поступає в n пункти її споживання, при цьому в j – му пункті необхідність в продукції дорівнює одиниць. Витрати, пов’язані з доставкою одиниці продукції з і – го пункту відправлення в j – й пункт споживання складають грн.. Відомо, що в і – му пункті виготовлення продукції максимальний об’єм її виробництва не може перевищувати одиниць, а витрати, пов’язані з виготовленням одиниці продукції, складають грн.. Визначити таке розміщення підприємств, за якого забезпечується необхідність в продукції в кожному з пунктів її споживання при найменших загальних витратах, пов’язаних з виробництвом та доставкою продукції.
Для виробництва n видів виробів підприємство використовує m груп взаємозамінного обладнання. Виробів і –го виду необхідно виготовити одиниць причому j – а група обладнання може бути зайнята виготовленням виробів не більше ніж годин . Час виготовлення одного виробу і –го виду на j –й групі обладнання дорівнює годинам, а ціна виробництва дорівнює грн.. Визначити, скільки виробів даного виду з використанням кожної з груп обладнання потрібно виготовити, щоб виготовити необхідну кількість виробів кожного виду при найменшій загальній вартості їх виготовлення.
При вирощуванні деякої культури (чи групи споріднених культур) може бути використано і – й вид добрив в кількості, не більшій ніж кг . Уся посівна площа містить n грунтово-кліматичних зон, причому площа j –ї зони дорівнює га . Внесок на кожний гектар площі j –ї зони 1кг добрив і –го виду збільшує середню врожайність на центнерів. Необхідно розподілити виділений фонд добрив між посівними зонами так, щоб додатній приріст врожайності культур за рахунок внесення добрив був максимальним.
Для виробництва чавунного сплаву використовується n різних вихідних шихтових матеріалів (чавун різних марок, стальний лом, ферофосфор і інші). Хімічний склад чавунного сплаву визначається вмістом в ньому хімічних елементів (кремнію, марганцю, фосфору і ін.). Готовий чавун повинен мати суворо визначений хімічний склад, який задається величинами , які представляють собою частини (у відсотках) j –го хімічного елементу в готовому продукті. При цьому відомі величини: - вмісту (у відсотках) j –го хімічного елементу в і –му вихідному шихтовому матеріалі; - ціна одиниці кожного і –го шихтового матеріалу. Визначити склад шихти, яка забезпечує отримання сплаву заданої якості при мінімальній загальній вартості використаних шихтових матеріалів.


Використана література.
1. Наконечний С.І., Савіна С.С. Математичне програмування: Навч. посіб. – К.:
КНЕУ, 2003.- 452 с.
2. Барвінський А.Ф та ін. Математичне програмування: Навчальний посібник / А.Ф. Барвінський, І.Я. Олексів, З.І. Крупка, І.О. Бобик, І.І. Демків, Р.І. Квіт, В.В. Кісілевич – Львів: Національний університет “Львівська політехніка” (Інформаційно-видавничий центр “Інтелект+” Інститут післядипломної освіти)
“Інтелект - Захід”, 2004. – 448 с.
3. Акулич М.Л.Математичиское програмирование в примерах и задачах: Учебное пособие для студентов экономических специальних вузов. – Вища школа, 1985-319с.,ст.36-47.
4. Вітлінський В.В., Наконечний С.І., Терещенко Т.О. Математичне програмування: Навч. – метод. посібник для самост. вивч. дисц. – К.: КНЕУ, 2001. – 248 с.
5. Математичне програмування (методичний посібник для студентів економічних спеціальностей)/Укладачі: Лавренчук В.П., Веренич І.І., Готинчан Т.І., Дронь В.С., Кондур О.С., - Чернівці: „Рута”, 1998.-168 с

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать