ПЕРЕБИРАННЯ ВАРІАНТІВ В ПРОГРАМУВАННІ

1. Задача про розміщення ферзів

Розглянемо шахівницю, що має розміри не 8 8, а n n, де n>0. Як відомо, шаховий ферзь атакує всі клітини та фігури на одній з ним вертикалі, горизонталі та діагоналі. Будь-яке розташування кількох ферзів на шахівниці будемо називати їх розміщенням. Розміщення називається допустимим, якщо ферзі не атакують одне одного. Розміщення n ферзів на шахівниці n n називається повним. Допустимі повні розміщення існують не при кожному значенні n. Наприклад, при n=2 або 3 їх немає. За n=4 їх лише 2 (рис.19.1), причому вони дзеркально відбивають одне одного.

Задача. Написати програму побудови всіх повних допустимих розміщень n ферзів, де 4 n 20.

Для початку з'ясуємо деякі властивості допустимих розміщень. Очевидно, що в них кожний ферзь займає окрему вертикаль і горизонталь. Занумеруємо вертикалі й горизонталі номерами 1, … , n та позначимо через послідовність номерів горизонталей, зайнятих ферзями, що стоять у вертикалях 1, 2,  , i, де 0 i n. Випадок i=0 відповідає порожньому розміщенню .

Існує n способів розмістити ферзя в першій вертикалі, тобто перейти від порожнього розміщення до непорожнього. Цей перехід позначимо стрілкою (рис. 19.2(а)). За кожного з розміщень ферзя в першій вертикалі є n варіантів розміщення ферзя в другій вертикалі, але з них слід відкинути недопустимі. Відмітимо їх знаком '*' (рис.19.2(б)).

Узагалі, нехай зафіксовано розміщення ферзів у перших i-1вертикалях:

S(i-1)=.

Для побудови всіх допустимих розміщень із початком S(i-1) треба перебрати всі допустимі розміщення S(i)з ферзем у i-й вертикалі та для кожного побудувати всі допустимі розміщення з початком S(i).

Отже, маємо рекурсивний алгоритм побудови всіх допустимих розміщень, за яким пошук усіх допустимих заповнень ферзями останніх n-i+1вертикалей зводиться до пошуку заповнень n-i вертикалей.

Уточнимо цей алгоритм рекурсивною процедурою deps. Нехай розмір шахівниці не більше nm=20. Номери вертикалей та діагоналей містяться в діапазоні nums=1..nm, а розміщення зображається станом масиву H типу

arh = array[ nums ] of nums.

Процедура deps задає побудову розміщення, починаючи з i-ї вертикалі за фіксованих H[1],  , H[i-1]. Підпрограми test та writs задають відповідно перевірку допустимості розміщення та друкування повного розміщення. Вони викликаються у процедурі deps:

procedure deps ( var H : arh; n, i : nums);

var j, k : nums;

begin

for k := 1 to n do

begin

H[i] := k;

if test ( H, i) then

if i = n then writs ( H, n) {друкування повного розміщення }

else deps ( H, n, i+1 ) {рекурсивний виклик}

end

end

Функція test задає перевірку допустимості розміщення за умови, що є допустимим:

function test ( var H : arh; i : nums ) : boolean;

var j : nums; flag : boolean;

begin

j := 1; flag := true;

{перевірка, чи займається нова горизонталь і діагональ}

while ( j '); readln ( n );

deps ( H, n, 1)

end.

Задачі

1.* Тура атакує фігури на одній із нею вертикалі та горизонталі. Написати програму пошуку всіх розміщень n тур на шахівниці розміром n n, у яких жодна тура не атакує іншу. Зазначимо, що ця задача цілком збігається з задачею побудови всіх перестановок чисел 1, 2,  , n.

2. Упорядкуємо повні розміщення ферзів, уважаючи:

0!} D[i]:=1 end

else

if H[i]0!} D[i]:=1 end

else {обробка проміжного вузла}

if (D[i]=0) and test(H, i) then {рух у глибину}

begin i:=i+1; H[i]:=1; D[i]:=0 end

else {рух праворуч або нагору}

if H[i]0 then D[i]:=1 end

end

Оформлення програми з необхідними означеннями, ініціалізаціями та нерекурсивною процедурою пошуку залишаємо як вправу.Узагальнимо наведений алгоритм, вважаючи, що, на відміну від задачі про розміщення ферзів, кореневий вузол дерева також містить деяку відповідну інформацію:

заштовхнути кореневий вузол у магазин;

while магазин не порожній do

begin

нехай A – вузол на верхівці магазина;

if A є листком then

begin

обробити листок A;

виштовхнути A з магазина;

if A не є правим сином свого батька then

заштовхнути в магазин правого брата A;

end

else {A – проміжний вузол}

if A є допустимим і дерево з коренем A ще не оброблено then

заштовхнути в магазин лівого сина A

else {дерево з коренем A вже оброблено або A не є допустимим}

begin

виштовхнути A з магазина;

if A не є правим сином свого батька і не є коренем then

заштовхнути правого брата A в магазин;

end

end.

Наведений опис задає так званий вичерпний пошук у дереві пошуку варіантів, оскільки рано чи пізно ми дістаємося кожного допустимого вузла дерева. Зазначимо, що цей опис є схемою багатьох алгоритмів розв'язання різноманітних задач, пов'язаних із перебиранням варіантів.

3. Метод розгалужень і меж

Обхід усіх вузлів дерева пошуку варіантів може виявитися надто довгим. Наприклад, якщо в дереві всі вузли є допустимими, кожний проміжний вузол має m синів, а глибина дерева n, то всього в дереві 1+m+m2+ … +mn=(mn+1-1)/(m-1) вузлів. Уже за m=10 та n=10 це більш, ніж 1010. Якщо припустити, що комп'ютер здатний обробити 105 вузлів за секунду, то обхід такого дерева триватиме 105 секунд, або приблизно добу.

Існує багато практичних задач, де вимагається відшукати чи побудувати не всі можливі варіанти, а лише один із них, найкращий у деякому розумінні, визначеному в задачі. Отже, тут з'являється таке поняття, як цінність варіантів. Загальним принципом розв'язання таких задач є скорочення обходу дерева варіантів. У ньому відкидаються деякі гілки, про які можна стверджувати, що вони не містять варіантів більш цінних, ніж уже знайдені. Розглянемо приклад.

Задача про три процесори. Нехай є три процесори, здатні виконувати завдання з однаковою швидкістю. Є набір завдань, про кожне з яких відомий час його виконання. Порядок виконання завдань неважливий. Якщо процесор почав виконувати завдання, то виконує його до кінця протягом зазначеного часу. Переключення процесора на виконання нового завдання відбувається миттєво. Треба так розподілити завдання між процесорами, шоб момент закінчення останнього завдання був мінімальним. Назвемо цю величину вартістю розподілу. Отже, займемося обчисленням мінімальної вартості серед можливих розподілів. Сам розподіл, що забезпечує таку вартість, для початку нас не цікавитиме.

Приклад. Нехай є 6 завдань, час виконання яких відповідно 7, 8, 9, 10, 11, 12. Якщо в зазначеному порядку розподілити перші три завдання між процесорами, а потім давати їх у тому ж порядку процесорам, що звільняються, то перший процесор закінчить роботу в момент 7+10=17, другий – у момент 8+11=19, а третій – 9+12=21. Маємо вартість 21. Проте їх можна розподілити інакше – 7+12, 8+11, 9+10, одержавши вартість 19.

Перше, що ми зробимо в розв'язанні задачі – упорядкуємо завдання за незростанням часу їх виконання. Отже, нехай P1, … , Pn – завдання, часи виконання T1, … , Tn яких задовольняють нерівності T1  …  Tn. Розподіл можна подати послідовністю пар вигляду (i; k), де i – номер завдання, k – номер процесора, на якому воно виконується. Наприклад, за часів 12, 11, 10, 9, 8, 7 найкращий розподіл подається як

.

Подібно до розміщень ферзів, можна говорити про повний розподіл – довжини n, та неповний – меншої довжини. Так само утворимо дерево пошуку розподілів. Його коренем є порожній розподіл, синами кореня – три розподіли , , тощо, тобто синами кожного розподілу вигляду

v=

за iРозглянемо найпростіший спосіб такого оцінювання. Очевидно, що за неповного розподілу v перших i завдань із трійкою часів (S1, S2, S3) всі розподіли, що є його нащадками, мають вартість не меншу, ніж

E(v)=max{S1, S2, S3, min{S1, S2, S3}+Ti+1}.

Отже, оцінка E(v) є нижньою межею для вартості нащадків розподілу v.

Організуємо обхід дерева розподілів таким чином, що:

1. для кожного з вузлів обчислюється зазначена оцінка вартості,

2. вузли розглядаються у порядку зростання їх оцінок,

3. вузли з оцінкою, більшою від вартості вже одержаного повного розподілу, взагалі не розглядаються.

Ці міркування складають суть методу розгалужень і меж. Упорядкування вузлів робить обхід цілеспрямованим, а відкидання явно неперспективних піддерев скорочує його.

Уточнимо організацію даних для обробки вузлів у зазначеному порядку. Оскільки нас цікавлять не самі розподіли, а лише їх вартість, у вузлах дерева будемо зберігати тільки трійку часів та номер завдання, розподіленого останнім. Маючи список часів T[1], … , T[n] обробки завдань, неважко за цими даними обчислити оцінку вартості для неповних розподілів та саму вартість для повних. Для наочності цю величину також зберігатимемо у вузлі. Отже, вузол дерева подається трійкою часів S[1], S[2], S[3], номером завдання i та оцінкою вартості E, яка за iІснує чимало задач, в яких розв'язок-послідовність будується шляхом "нарощування" часткових розв'язків новими компонентами ai. Умова (19.1) дозволяє відкидати ті часткові розв'язки та всіх їх нащадків, якщо їх вартість не може бути меншою вартості Cmin уже побудованого повного розв'язку. Таким чином, Cmin виступає верхньою межею для вартості розв'язків, які є сенс будувати. Але, як правило, обчислити вартість повного розв'язку можна лише після його побудови. Для запобігання побудови всіх повних розв'язків треба мати можливість оцінювати знизу їх вартість за вартістю побудованих часткових. Чим точнішою буде така оцінка, тим ефективнішим буде скорочення перебору.

Отже, алгоритм розв'язання багатьох задач за методом розгалужень і меж має таку загальну структуру:

Для кожного можливого a1 занести до черги частковий розв'язок

;

Обчислити нижню оцінку E вартості його нащадків, що є

повними розв'язками;

Cmin:= ;

while (черга не порожня) and (її перший елемент має оцінку EПриклад 2. Нехай паперовий прямокутник складено з клітин – m по вертикалі та n по горизонталі. У кожній клітині записано натуральне число. Уявімо, що з прямокутника зробили вертикальний циліндр, з'єднавши першу та останню вертикалі. Ми можемо рухатися по клітинах циліндра та підраховувати суму чисел у них. Рух починається з будь-якої клітини першого кільця. Далі, якщо ми перебуваємо в якійсь клітині, то можемо перейти на наступне кільце в одну з тих трьох клітин, що мають спільні точки з поточною. Рух закінчується на останньому, m-му кільці клітин. Треба обчислити найбільшу суму, яку можна набрати на одному з можливих шляхів довжини m.

Якщо m=1, то достатньо вибрати клітину з найбільшим числом. Нехай m>1. Занумеруємо клітини кожного кільця числами від 0 до n-1. Позначимо через Cki число, записане в клітині з номером i у кільці k, а через Ski – найбільшу суму, яку можна набрати на шляху, що веде в цю клітину. Очевидно, що S1i =C1i. Для початку обчислимо для кожної клітини другого кільця найбільшу суму S2i на шляху довжини 2. За умовою задачі очевидно, що

S2i=C2i+max{S1, i-1, S1i, S1, i+1} за i=1, … , n-2,

S20=C20+max{S1, n-1, S10, S11}, S2,n-1=C2, n-1+max{S1, n-2, S1, n-1, S10}.

За цими сумами можна аналогічно підрахувати суми для клітин третього кільця. Так само при переході до четвертого кільця достатньо знати лише найбільші суми для клітин третього кільця тощо. Діставши суми для клітин останнього кільця, вибираємо найбільшу з них, і задачу розв'язано.

Уточнення алгоритму залишаємо вправою. Скажемо лише, що суми Ski, k=2, … , m, i=0, … , n-1, обчислюються за єдиною формулою

Ski=Cki+max{Sk-1, (i-1+n) mod n, Sk-1, i, Sk-1, (i+1) mod n}.

Оцінимо складність наведеного алгоритму. Очевидно, що при переході на наступне кільце обчислюються n сум за сталу кількість дій кожна. Таких переходів відбувається m-1, тому загальна кількість дій оцінюється як O(nm).

У наведених обчисленнях сум ми керувалися правилом: при переході на наступне кільце неважливо, якими були шляхи до клітин попереднього кільця. Аби вони давали найбільші суми, можливі для їх кінцевих клітин. Ішими словами, вибір шляхів від клітин попереднього кільця в клітини наступного не залежить від того, як саме ми вибирали клітини раніше.

Наведене правило є окремим конкретним випадком принципу оптимальності, одного з головних у теорії динамічного програмування. Її автор, Р.Беллман, сформулював цей принцип так:

"Оптимальна поведінка має таку властивість, що, якими б не були початковий стан і рішення в початковий момент, наступні рішення повинні складати оптимальну поведінку відносно стану, який одержується в результаті першого рішення."

Обсяг книжки не дозволяє викладати тут теорію динамічного програмування. Вона велика й серйозна. Наведемо натомість ще один приклад застосування принципу оптимальності.

Приклад 3. Розглянемо обчислення добутку n матриць

A = A1  A2  …  An,

де кожна Ai – матриця з si-1 рядками та si стовпцями. Як відомо, операція множення матриць є асоціативною, і результат не залежить від порядку її застосування. Але від нього залежить кількість множень їх елементів.

За традиційним алгоритмом множення матриць розмірами a b та b c відбувається abc множень їх елементів. Наприклад, множення матриць A1 A2 A3 розмірами 100 1, 1 100, 100 1 відповідно у порядку (A1 A2) A3 вимагає 100 1 100+100 100 1=20000 множень, тоді як у порядку A1 (A2 A3) – лише 1 100 1+100 1 1=200, тобто в 100 разів менше.

Отже, за послідовністю розмірів матриць s0, s1, s2, … , sn треба обчислити найменшу кількість множень їх елементів, необхідних для обчислення добутку матриць A = A1  A2  …  An.

Очевидно, що при обчисленні добутку останнім виконується одне з множень, тобто A=(A1 … Ai) (Ai+1 … An), де 1 i n-1. Якщо добутки A1 … Ai та Ai+1 … An обчислено, то виконання останнього множення вимагає s0 si sn множень. Позначимо mik мінімальну кількість множень, необхідних для обчислення Ai Ai+1 … Ak за iСпочатку обчислимо всі mi,i+1 за i=1, … , n-1. Очевидно, mi,i+1=si-1 si si+1. Запам'ятавши їх, обчислимо mi,i+2 і також запам'ятаємо. Потім обчислимо всі mi,i+3 тощо, збільшуючи різницю d між другим та першим індексами, поки не дійдемо до m1n. При цьому ми обчислюємо mij за формулою

mij = {mik+mk+1,j+si-1 sk sj}

Наведений алгоритм уточнюється таким чином:

for i:=1 to n-1 do m[i, i+1]:=s[i-1]*s[i]*s[i+1];

for d:=1 to n-1 do

for i:=1 to n-d do

begin

j:=i+d;

У m[i, j] запам'ятати мінімальне зі значень

m[i,k]+m[k+1,j]+s[i-1]*s[k]*s[j] по всіх k=i+1, …, j-1

end

{m[1, n] – шукане значення}

Безпосередньо за алгоритмом неважко переконатися, що оцінкою його складності є O(n3).

Підіб'ємо підсумок. В обох прикладах ми будували послідовності – шляхи на циліндрі або послідовності дужок. Характерним для них є те, що, кажучи неформально, коли зафіксовано якийсь компонент у їх середині, то оптимальний вибір компонентів у початку не впливає на оптимальний вибір у кінці, і навпаки. Саме ця незалежність позбавляє необхідності перебирати всі можливі послідовності і забезпечує складність наведених алгоритмів порядку O(mn) та O(n3) відповідно.

У задачі про три станки такої незалежності рішень на початку їх послідовності та в її кінці немає. Саме це змушує перебирати всі можливі послідовності та зумовлює незастосовність принципу оптимальності. Для цієї задачі немає алгоритмів, які б дозволяли будувати розв'язок із незалежних частин подібно до задачі про добуток матриць.

Існує величезний клас задач, розв'язки яких є послідовностями заданого вигляду, причому їх початок і кінець взаємозалежні. Для таких задач побудовано алгоритми складності не менше O(2n), де n – це величина, що характеризує розмір вхідних даних задачі. Але для них досі не побудовано алгоритмів, складність яких можна було б оцінити поліноміальною функцією від n. Поки що не доведено, що таких алгоритмів узагалі не можна побудувати, але саме до такої думки схиляються майже всі, хто мав справу з цими задачами.

Серед задач, розв'язок яких будується перебиранням варіантів, виділяються так звані NP-складні та NP-повні задачі. Обсяг і характер цієї книжки не дозволяють розпочинати знайомство з ними, тому зацікавлений читач може подивитися в книги [АХУ, РНД, ГД].

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать