Метод розгалужень і меж. Евристичні алгоритми. Застосування принципу оптимальності

Обхід усіх вузлів дерева пошуку варіантів може виявитися надто довгим. Наприклад, якщо в дереві всі вузли є допустимими, кожний проміжний вузол має m синів, а глибина дерева n, то всього в дереві 1+m+m2+ … +mn=(mn+1-1)/(m-1) вузлів. Уже за m=10 та n=10 це більш, ніж 1010. Якщо припустити, що комп'ютер здатний обробити 105 вузлів за секунду, то обхід такого дерева триватиме 105 секунд, або приблизно добу.

Існує багато практичних задач, де вимагається відшукати чи побудувати не всі можливі варіанти, а лише один із них, найкращий у деякому розумінні, визначеному в задачі. Отже, тут з'являється таке поняття, як цінність варіантів. Загальним принципом розв'язання таких задач є скорочення обходу дерева варіантів. У ньому відкидаються деякі гілки, про які можна стверджувати, що вони не містять варіантів більш цінних, ніж уже знайдені. Розглянемо приклад.

Задача про три процесори. Нехай є три процесори, здатні виконувати завдання з однаковою швидкістю. Є набір завдань, про кожне з яких відомий час його виконання. Порядок виконання завдань неважливий. Якщо процесор почав виконувати завдання, то виконує його до кінця протягом зазначеного часу. Переключення процесора на виконання нового завдання відбувається миттєво. Треба так розподілити завдання між процесорами, шоб момент закінчення останнього завдання був мінімальним. Назвемо цю величину вартістю розподілу. Отже, займемося обчисленням мінімальної вартості серед можливих розподілів. Сам розподіл, що забезпечує таку вартість, для початку нас не цікавитиме.

Приклад. Нехай є 6 завдань, час виконання яких відповідно 7, 8, 9, 10, 11, 12. Якщо в зазначеному порядку розподілити перші три завдання між процесорами, а потім давати їх у тому ж порядку процесорам, що звільняються, то перший процесор закінчить роботу в момент 7+10=17, другий – у момент 8+11=19, а третій – 9+12=21. Маємо вартість 21. Проте їх можна розподілити інакше – 7+12, 8+11, 9+10, одержавши вартість 19.

Перше, що ми зробимо в розв'язанні задачі – упорядкуємо завдання за незростанням часу їх виконання. Отже, нехай P1, … , Pn – завдання, часи виконання T1, … , Tn яких задовольняють нерівності T1  …  Tn. Розподіл можна подати послідовністю пар вигляду (i; k), де i – номер завдання, k – номер процесора, на якому воно виконується. Наприклад, за часів 12, 11, 10, 9, 8, 7 найкращий розподіл подається як

.

Подібно до розміщень ферзів, можна говорити про повний розподіл – довжини n, та неповний – меншої довжини. Так само утворимо дерево пошуку розподілів. Його коренем є порожній розподіл, синами кореня – три розподіли , , тощо, тобто синами кожного розподілу вигляду

v=

за iУточнимо організацію даних для обробки вузлів у зазначеному порядку. Оскільки нас цікавлять не самі розподіли, а лише їх вартість, у вузлах дерева будемо зберігати тільки трійку часів та номер завдання, розподіленого останнім. Маючи список часів T[1], … , T[n] обробки завдань, неважко за цими даними обчислити оцінку вартості для неповних розподілів та саму вартість для повних. Для наочності цю величину також зберігатимемо у вузлі. Отже, вузол дерева подається трійкою часів S[1], S[2], S[3], номером завдання i та оцінкою вартості E, яка за iОбчислити оцінку вартості синів вузла Node та

додати до черги лише тих із них, чия оцінка не більше Cmin

end.

2. Евристичні алгоритми

Повернемося до задачі про розподіл завдань по трьох процесорах і спробуємо розв'язати її у зовсім інший спосіб.

Нехай ми маємо неповний розподіл (S1, S2, S3) усіх завдань, крім останнього. У цьому випадку найкраще розподілити останнє завдання, додавши його час до найменшого з S1, S2, S3, тобто передати його до найменш завантаженого процесора.

Тепер правилом "передати чергове завдання до найменш завантаженого процесора" будемо керуватися при розподілі кожного з завдань. Застосування цього правила виражається алгоритмом, за яким завдання розподіляються без будь-якого перебирання варіантів:

розподілити перші три завдання по одному на процесор;

for i:=4 to n do

begin

обчислити k – номер найменшого з S[1], S[2], S[3];

додати T[i] до S[k]

end

За цим алгоритмом завдання (12, 8, 7, 5, 4) розподіляються як (12, 8+4, 7+5). Очевидно, що краще не може бути.

Проте розподіл завдань за цим алгоритмом не завжди є найкращим. Наприклад, завдання (12, 8, 7, 5, 4, 2) розподіляються за ним як (12+2, 8+4, 7+5) з вартістю 14, хоча є кращий розподіл (12, 8+5, 7+4+2) з вартістю 13.

Правило "передати чергове завдання до найменш завантаженого процесора", яким ми керувалися при розподілі завдань, є прикладом евристики. Взагалі, значенням цього слова є "мистецтво відшукання істини", а в інформатиці евристика – це правило, метод або прийом, призначений для підвищення ефективності пошуку розв'язку задачі [Сл].

Алгоритм, побудований на основі застосування евристики, називається евристичним. Як правило, евристичні алгоритми дозволяють швидко побудувати розв'язок задачі, але не завжди гарантують, що він дійсно буде найкращим.

Приклад 1. Розглянемо ще одну задачу та дві евристики для неї. Нехай, як і раніше, задано упорядкований за незростанням список часів виконання завдань T1, T2, … , Tn, але кількість процесорів не фіксовано. Замість цього задано час T0, і треба визначити найменшу кількість процесорів, яка забезпечує виконання всіх завдань у межах T0. Зрозуміло, що T0 T1.

Спочатку переформулюємо цю задачу в інших термінах. Час виконання завдання можна розглядати як об'єм предмету, а час T0 – як об'єм ящиків, по яких розподіляються предмети (форма ящиків та предметів неважлива). Отже, треба обчислити найменшу кількість ящиків, необхідних для розподілу всіх предметів. Тепер сформулюємо дві евристики.

Е1. "Перший прийнятний". Перший предмет кладемо в перший ящик. Другий також, якщо він там уміщається. Якщо не уміщається, то кладемо його в другий ящик. Взагалі, черговий предмет кладемо в ящик із найменшим номером, в якому він уміщається.

Е2. "Найкращий прийнятний". Черговий предмет кладеться в той ящик, у якому залишається найменший ще допустимий незайнятий об'єм. Якщо таких ящиків кілька, то з них вибираємо ящик із найменшим номером.

Запис відповідних евристичних алгоритмів залишаємо вправою.

3. Застосування принципу оптимальності

Знайомство з принципом оптимальності почнемо з розв'язання задачі.

Приклад 2. Нехай паперовий прямокутник складено з клітин – m по вертикалі та n по горизонталі. У кожній клітині записано натуральне число. Уявімо, що з прямокутника зробили вертикальний циліндр, з'єднавши першу та останню вертикалі. Ми можемо рухатися по клітинах циліндра та підраховувати суму чисел у них. Рух починається з будь-якої клітини першого кільця. Далі, якщо ми перебуваємо в якійсь клітині, то можемо перейти на наступне кільце в одну з тих трьох клітин, що мають спільні точки з поточною. Рух закінчується на останньому, m-му кільці клітин. Треба обчислити найбільшу суму, яку можна набрати на одному з можливих шляхів довжини m.

Якщо m=1, то достатньо вибрати клітину з найбільшим числом. Нехай m>1. Занумеруємо клітини кожного кільця числами від 0 до n-1. Позначимо через Cki число, записане в клітині з номером i у кільці k, а через Ski – найбільшу суму, яку можна набрати на шляху, що веде в цю клітину. Очевидно, що S1i =C1i. Для початку обчислимо для кожної клітини другого кільця найбільшу суму S2i на шляху довжини 2. За умовою задачі очевидно, що

S2i=C2i+max{S1, i-1, S1i, S1, i+1} за i=1, … , n-2,

S20=C20+max{S1, n-1, S10, S11}, S2,n-1=C2, n-1+max{S1, n-2, S1, n-1, S10}.

За цими сумами можна аналогічно підрахувати суми для клітин третього кільця. Так само при переході до четвертого кільця достатньо знати лише найбільші суми для клітин третього кільця тощо. Діставши суми для клітин останнього кільця, вибираємо найбільшу з них, і задачу розв'язано.

Уточнення алгоритму залишаємо вправою. Скажемо лише, що суми Ski, k=2, … , m, i=0, … , n-1, обчислюються за єдиною формулою

Ski=Cki+max{Sk-1, (i-1+n) mod n, Sk-1, i, Sk-1, (i+1) mod n}.Оцінимо складність наведеного алгоритму. Очевидно, що при переході на наступне кільце обчислюються n сум за сталу кількість дій кожна. Таких переходів відбувається m-1, тому загальна кількість дій оцінюється як O(nm).

У наведених обчисленнях сум ми керувалися правилом: при переході на наступне кільце неважливо, якими були шляхи до клітин попереднього кільця. Аби вони давали найбільші суми, можливі для їх кінцевих клітин. Ішими словами, вибір шляхів від клітин попереднього кільця в клітини наступного не залежить від того, як саме ми вибирали клітини раніше.

Наведене правило є окремим конкретним випадком принципу оптимальності, одного з головних у теорії динамічного програмування. Її автор, Р.Беллман, сформулював цей принцип так:

"Оптимальна поведінка має таку властивість, що, якими б не були початковий стан і рішення в початковий момент, наступні рішення повинні складати оптимальну поведінку відносно стану, який одержується в результаті першого рішення."

Обсяг книжки не дозволяє викладати тут теорію динамічного програмування. Вона велика й серйозна. Наведемо натомість ще один приклад застосування принципу оптимальності.

Приклад 3. Розглянемо обчислення добутку n матриць

A = A1  A2  …  An,

де кожна Ai – матриця з si-1 рядками та si стовпцями. Як відомо, операція множення матриць є асоціативною, і результат не залежить від порядку її застосування. Але від нього залежить кількість множень їх елементів.

За традиційним алгоритмом множення матриць розмірами a b та b c відбувається abc множень їх елементів. Наприклад, множення матриць A1 A2 A3 розмірами 100 1, 1 100, 100 1 відповідно у порядку (A1 A2) A3 вимагає 100 1 100+100 100 1=20000 множень, тоді як у порядку A1 (A2 A3) – лише 1 100 1+100 1 1=200, тобто в 100 разів менше.

Отже, за послідовністю розмірів матриць s0, s1, s2, … , sn треба обчислити найменшу кількість множень їх елементів, необхідних для обчислення добутку матриць A = A1  A2  …  An.

Очевидно, що при обчисленні добутку останнім виконується одне з множень, тобто A=(A1 … Ai) (Ai+1 … An), де 1 i n-1. Якщо добутки A1 … Ai та Ai+1 … An обчислено, то виконання останнього множення вимагає s0 si sn множень. Позначимо mik мінімальну кількість множень, необхідних для обчислення Ai Ai+1 … Ak за iІснує величезний клас задач, розв'язки яких є послідовностями заданого вигляду, причому їх початок і кінець взаємозалежні. Для таких задач побудовано алгоритми складності не менше O(2n), де n – це величина, що характеризує розмір вхідних даних задачі. Але для них досі не побудовано алгоритмів, складність яких можна було б оцінити поліноміальною функцією від n. Поки що не доведено, що таких алгоритмів узагалі не можна побудувати, але саме до такої думки схиляються майже всі, хто мав справу з цими задачами.

Серед задач, розв'язок яких будується перебиранням варіантів, виділяються так звані NP-складні та NP-повні задачі. Обсяг і характер цієї книжки не дозволяють розпочинати знайомство з ними, тому зацікавлений читач може подивитися в книги [АХУ, РНД, ГД].

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать