Идентификация и моделирование систем управления

СОДЕРЖАНИЕ
1. Задание 3
2. Построение аналитической модели и ее анализ.
2.1 Построение аналитической модели 4
2.2 Анализ динамических процессов в системе на основе использования построенной аналитической модели 11
2.3. Моделирование с использованием солверов 18
2.4. Моделирование с использованием пакета расширения Symbolic Math Tolbox 21
2.5. Моделирование с использованием имитационного пакета моделирования динамических систем Simulink 25
1. Задание
Построить аналитическую модель электрической цепи и выполнить анализ динамического процесса после замыкания ключа К .
Схема электрической цепи и параметры составляющих ее компонент:
R1 , Ом
R2 , Ом
R3, Ом
R4, Ом
C1 , Ф
L,Гн
В
4
4
4
6
1/25
1/7
30
Рис. 1. Электрическая RLC - цепь
2. Построение аналитической модели и ее анализ.
2 .1 Построение аналитической модели
Решение задачи идентификации с последующим анализом динамических процессов в физической системе на основе модели предполагает построение системы дифференциальных или алгебраических уравнений. При решении многомерных задач с помощью ЭВМ наиболее используемыми прикладными программами являются пакеты программ, позволяющие анализировать системы на основе матричной записи дифференциальных уравнений в нормальной форме (форма Коши или метод переменных состояния или метод пространства состояний). Прежде чем выполнять анализ динамических процессов в системе, необходимо записать систему дифференциальных уравнений в форме Коши, наиболее удобной при использовании ЭВМ.
Известно несколько способов составления уравнений состояния. Рассмотрим наиболее целесообразный способ, основанный на сведении послекоммутационной схемы к резистивной с источниками э.д.с. и тока. С этой целью индуктивные элементы в послекоммутационной схеме заменяют на источники тока, которые возбуждают ток в том же направлении, что и в исходной схеме, а конденсатор на источник э.д.с. с э.д.с. направленной встречно току в ветви с конденсатором, т. е. встречно uc . В результате схема окажется без реактивных элементов (резистивной), но с дополнительными источниками тока и э.д.с.
В полученной резистивной схеме один из узлов заземляют и составляют уравнения по методу узловых потенциалов. По найденным потенциалам узлов рассчитывают напряжения на источниках тока, эквивалентных индуктивным элементам и токи через источники э.д.с., эквивалентные емкостным элементам. Далее разрешают уравнения цепи относительно производных diL /dt и duC /dt и получают запись системы дифференциальных уравнений в нормальной форме (форма Коши).
Для составления уравнений в нормальной форме по полученной резистивной схеме, можно использовать также принцип наложения, справедливый для линейных систем и их линейных уравнений. Суть принципа наложения состоит в том, что контурный ток в любом контуре равен сумме токов, вызываемых в этом контуре каждой из э.д.с. в отдельности, и соответственно узловое напряжение между любым узлом и опорным равно сумме узловых напряжений, созданных между этим узлом и опорным каждым в отдельности источником тока.
Принцип наложения позволяет разложить сложную задачу на ряд более простых, в каждой из которых в рассматриваемой сложной цепи действует только одна э.д.с. или один источник тока, а все остальные источники энергии предполагаются отсутствующими. При этом эти другие источники э.д.с. должны быть замкнуты накоротко с сохранением в ветвях их внутренних сопротивлений, а все другие источники тока должны быть разомкнуты, но в соответствующих ветвях должны быть сохранены их внутренние проводимости.
Рассмотрим модель электрической цепи (Рис. 1).
Для построения модели выбираем вектор переменных состояния
т. е. x 1 = uc ; x 2 = iL . Так как uL = L ( diL / dt ), то dx 2 / dt = diL / dt = uL / L , а uc = 1/ Cic dt , то dx 1 / dt = duc / dt = ic / C .
Уравнения состояния в матричной форме в общем виде для
приведенной электрической цепи можно записать так:
( 2.1)
Коэффициенты матриц будем определять методом наложения при рассмотрении эквивалентной резистивной схемы (Рис. 2).
Рис. 2. Эквивалентная резистивная схема.
Запишем систему (2.1) в координатной форме, из которой определим коэффициенты матриц A и B .
Система (2.2)
Для определения коэффициентов матрицы A ( коэффициенты матрицы A определяются только топологией электрической цепи и параметрами ее компонент) полагаем внешнее воздействие равное нулю, т.е. все процессы в цепи будут протекать за счет энергии, запасенной в электрическом поле конденсатора и магнитном поле катушки. Для
моделирования такого режима необходимо в эквивалентной резистивной схеме закоротить источник э.д.с. u 1 = E = 0. А для определения коэффициента a 11 матрицы A исключить источник тока x 2 = iL = 0 . Соответственно из первого уравнения системы (2. 2) получим:
При условии: E = 0; iL = 0 .
Для измененной схемы определяем ic = - uc / ( R 2 + R 3 ) и подставляем в выражение для a 11 . В результате получим:
Для определения коэффициента a 12 матрицы A восстанавливаем источник тока, но замыкаем источник э. д. с.: x 1 = uc = 0. Соответственно из первого уравнения системы (2. 2) получим:
При условии: E = 0; uc = 0 .
Для измененной схемы определяем ic =( R 2 /( R 2 + R 3 )) iL
и подставляем в выражение для a 12 . В результате получим:
Для определения коэффициента a 21 матрицы A в эквивалентной резистивной схеме закоротить источник э.д.с. u 1 = E = 0 и исключаем источник тока x 2 = iL = 0 .
Соответственно из второго уравнения системы получим:
При условии: E = 0; iL = 0 .
Для измененной схемы определяем uL = ic R 2 , для этого находим ic = - uc / ( R 2 + R 3 ) и подставляем в uL = ic R 2 . Получим: uL =( - uc / ( R 2 + R 3 )) R 2 . Тогда
Для определения коэффициента a 22 матрицы A в эквивалентной резистивной схеме закоротить источник э.д.с. u 1 = E = 0, восстанавливаем источник тока, но замыкаем источник э. д. с.: x 1 = uc = 0. Соответственно из второго уравнения системы получим:
Для измененной схемы определяем: uL = - (R1 + (R2 R3 / R2 + R3 )) iL . Тогда a 22 = -(1/ L )( R1 + (R2 R3 / R2 + R3 )).
Определение коэффициентов матрицы B (коэффициенты матрицы B определяют вклад входных величин в баланс токов и напряжений) предполагает исключение источника тока x 2 = iL = 0 , замыкание источника э. д. с. x 1 = uc = 0 и сохранение источника u 1 = E . Тогда для определения коэффициента b 11 матрицы B в первом уравнении системы полагаем x 1 = uc = 0, x 2 = iL = 0. Получим:
но ic =0 при любом Е, т. к. ветвь с источником тока разомкнута, то b 11 =0.
Для определения коэффициента b 21 матрицы B во втором уравнении системы (4. 2) полагаем x 1 = uc = 0, x 2 = iL = 0, что предполагает исключение источника тока x 2 = iL = 0 , замыкание источника э. д. с. x 1 = uc = 0 и сохранение источника u 1 = E . Получим:
Напряжение на участке исключенного источника тока uL =Е, т. к. тока в разомкнутой цепи нет, то следовательно нет падения напряжения на активных сопротивлениях.
После получения всех коэффициентов матриц A и B можно записать систему (2. 2) для полученных коэффициентов: a 11 = (- 1 / C )(1/ ( R 2 + R 3 )); a 12 = (1 / C )( R 2 / ( R 2 + R 3 )); a 21 = - R 2 / L ( R 2 + R 3 ); a 22 = -(1/ L )( R1 + (R2 R3 / R2 + R3 )); b 11 =0; b 21 = 1/ L .
Подставляя в полученную систему численные значения параметров компонент, согласно исходной схеме, получим.
В координатной форме полученная система имеет вид
Возвращаясь к первоначальным переменным x 1 = uc ; x 2 = iL , можно записать в общем виде для заданной электрической цепи следующую систему уравнений в форме Коши, которую необходимо решить и выполнить анализ динамического процесса с помощью средств система автоматизации математических расчетов MATLAB и пакета динамических систем Simulink, входящего в состав расширенных версий MATLAB, а также вручную и сравнить полученные результаты, которые должны совпасть.
Система (2.3)
2.2 Анализ динамических процессов в системе на основе использования построенной аналитической модели
После получения динамической модели изучаемой системы в виде системы дифференциальных уравнений, записанных в форме пространства состояний, необходимо выполнить анализ динамических процессов протекающих в системе. Для выполнения этой задачи следует найти решение системы уравнений, т.е. найти аналитическое выражение – функцию, отражающую закон, согласно которому изменяются переменные состояния во времени. Получив закон, можно определить характер динамических процессов, протекающих в системе.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию