Показатели надежности восстанавливаемого объекта

При расчете показателей надежности восстанавливаемых объектов и систем наиболее распространено допущение:
экспоненциальное распределение наработки между отказами;
экспоненциальное распределение времени восстановления.
Допущение во многом справедливо, поскольку во-первых, экспоненциальное распределение наработки описывает функционирование системы на участке нормальной эксплуатации, во-вторых, экспоненциальное распределение описывает процесс без «предыстории».
Применение экспоненциального распределения для описания процесса восстановления позволяет при ординарных независимых отказах представить анализируемые системы в виде марковских систем.
При экспоненциальном распределении наработки между отказами и времени восстановления, для расчета надежности используют метод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова-Чепмена).
Случайный процесс в какой либо физической системе S , называется марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента t 0 вероятность состояния системы в будущем (t > t 0 ) зависит только от состояния в настоящем (t = t 0 ) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса - прошлого).
t t 0
Для марковского процесса «будущее» зависит от «прошлого» только через «настоящее», т. е. будущее протекание процесса зависит только от тех прошедших событий, которые повлияли на состояние процесса в настоящий момент.
Марковский процесс, как процесс без последействия, не означает полной независимости от прошлого, поскольку оно проявляется в настоящем.
При использовании метода, в общем случае, для системы S , необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы S 1 , S 2 , … , S n , в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.
Для рассмотрения принципа составления модели введены допущения:
- отказавшие элементы системы (или сам рассматриваемый объект) немедленно восстанавливаются (начало восстановления совпадает с моментом отказа);
- отсутствуют ограничения на число восстановлений;
- если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс переходов будет марковским процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями S 1 , S 2 , … , S n .
Основные правила составления модели:
1. Математическую модель изображают в виде графа состояний.
Элементы графа:
а) кружки (вершины графа S 1 , S 2 , … , S n ) – возможные состояния системы S , возникающие при отказах элементов;
б) стрелки – возможные направления переходов из одного состояния Si в другое Sj .
Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.
Примеры графа:
S 0 – работоспособное состояние;
S 1 – состояние отказа.
«Петлей» обозначаются задержки в том или ином состоянии S0 и S1 соответствующие:
- исправное состояние продолжается;
- состояние отказа продолжается (в дальнейшем петли на графах не рассматриваем).
Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы S 1 , S 2 , … , S n . Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.
2. Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний
P 1 (t), P 2 (t), … , Pi (t), … , P n (t) ,
где Pi (t) – вероятность нахождения системы в момент t в i -м состоянии, т. е.
Pi ( t) = P{ S( t) = si}.
Очевидно, что для любого t
(1)
(нормировочное условие, поскольку иных состояний, кроме S 1 , S 2 , … , S n нет).
3. По графу состояний составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова-Чепмена), имеющих вид:
(2)
В общем случае, интенсивности потоков ij и ij могут зависеть от времени t .
При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:
а) в левой части – производная по времени t от Pi (t);
б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;
в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;
г) знак произведения положителен, если стрелка входит (направлена острием) в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.
Проверкой правильности составления уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений.
4. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний P 1(t), Pi (t), … , P n(t) необходимо задать начальное значение вероятностей
P 1(0), Pi (0), … , P n(0) , при t = 0 ,
сумма которых равна единице:
Если в начальный момент t = 0 состояние системы известно, например, S(t=0) = Si, то Pi (0) = 1, а остальные равны нулю.
2. Показатели надежности восстанавливаемых систем
Все состояния системы S можно разделить на подмножества:
SK S – подмножество состояний j = , в которых система работоспособна;
SM S – подмножество состояний z = , в которых система неработоспособна.
S = SK SM ,
SK SM = 0.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию