Разработка алгоритма программы нахождения производной методом неопределённых коэффициентов

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1.Постановка и уяснение задачи:
1.1Анализ предметной области
1.1.1 Метод неопределённых коэффициентов
1.1.2 Использование интерполяционных многочленов
1.1.3 Использование конечно разностных соотношений для аппроксимации производных
2. Разработка алгоритма и программы:
2.1 Разработка алгоритма
2.2 Обоснование выбора языка программирования
2.3 Разработка программы
3.Экспериментальное исследование алгоритма и программы:
3.1Решение задачи методом неопределённых коэффициентов
3.2 Тестирование программы
3.3. Руководство программисту
Заключение
Список литературы
Приложение А
Приложение Б
В ведение
Задача решения обыкновенных дифференциальных уравнений сложнее задачи вычисления однократных интегралов, и доля задач, интегрируемых в явном виде, здесь существенно меньше.
Когда говорят об интегрируемости в явном виде, имеют в виду, что решение может быть вычислено при помощи конечного числа “элементарных” операций: сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, логарифмирования, потенцирования, вычисление синуса и косинуса и т.д.
Уже в период, предшествовавший появлению ЭВМ, понятия “элементарной” операции претерпели изменения. Решение некоторых частных задач настолько часто встречаются в приложениях, что пришлось составить таблицы их значений, в частности таблицы интегралов Френеля, функций Бесселя и ряда других так называемых специальных функций. При наличии таких таблиц исчезает принципиальная разница между вычислением функций sinx, lnx,… и специальных функций. В том и другом случаях можно вычислять значения этих функций при помощи таблицы, и те и другие функции можно приближая их многочленами, рациональными дробями и т.д.
Таким образом, в класс задач, интегрируемых в явном виде, включились задачи, решение которых выражаются через специальные функции. Однако и этот, более широкий, класс составляет относительно малую долю задач, предъявляемых к решению. Существенное расширение класса реально решаемых дифференциальных уравнений, а следовательно и расширение сферы применения математики произошло с разработкой численных методов и активным повсеместным использованием ЭВМ.
В настоящее время затраты человеческого труда при решении на ЭВМ задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений сравнимы с затратами на то, чтобы просто переписать заново формулировку этой задачи.
При желании можно получить график решения или его изображение на экране. В результате этого для многих категорий научных работников существенно уменьшился интерес к изучению частных способов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений в явном виде.
Эта работа посвящена описанию одного из методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и исследования свойств этого метода.
Обратим внимание на то обстоятельство, что как и в других случаях, первоначальный анализ практической пригодности метода производится, изучая простейшие задачи, где точное и приближенное решение задачи выписываются в явном виде.
1.Постановка и уяснение задачи
Необходимо разработать алгоритм и программу, выполняющую задачу по нахождению производной методом неопределённых коэффициентов. Необходимо провести анализ существующих методов решения поставленной задачи. Наиболее подходящим считать метод неопределённых коэффициентов. Результатом выполнения работы иметь корректно работающую программу и правильно оформленную техническую документацию.
1.1 Анализ предметной области
1.1.1 Метод неопределённых коэффициентов
Метод неопределённых коэффициентов применяется для численного дифференцирования таблично заданной функции с произвольным расположением узлов. Он заключается в следующем.
Искомое выражение для производной k -го порядка для некоторой точке x = xi представляется в виде линейной комбинации заданных значений функции в узлах x 0 , x 1 , …, xn :
yi (k) =C0 y0 +C1 y1 +…+Cn yn . (2.1)
Предполагается, что эта формула имеет место для многочленов:
y=1; y=x-xi ;…; y=(x-xi )n .
Подставляя последовательно эти многочлены в выражение (2.1) можно получить систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов С0 , С1 , …, С n .
Рассмотрим порядок использования данного метода для нахождения производной на следующем примере.
Пример. Найти выражение для определения производной у1 ' в случае задания функции в четырёх равноотстоящих узлах.
Решение. Равенство (2.1) запишется в следующем виде
yi ( k ) = C 0 y 0 + C 1 y 1 +С2 у2 + C 3 у3 . (2.2)
Для нахождения производной у1 ' используем, например, следующие многочлены:
y =1; y = x - x 0 ; у=(х-х0 )2 ; y =( x - x 0 )3 . . (2.3)
Производные этих многочленов будут иметь следующий вид соответственно:
y '=0; y '=1; у'=2(х-х0 ); y '=3( x - x 0 )2 . . (2.4)
Подставляя последовательно соотношения (2.3) и (2.4) соответственно в правую и левую части равенства (2.2), получим в общем виде при х=х1 , следующую систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов С0 , С1 , …, С n :
После упрощения данная система линейных алгебраических уравнений примет следующий вид:

Решив данную систему уравнений, получим следующие значения коэффициентов и выражение для нахождения производной у1 ' :
1.1.2 Использование интерполяционных многочленов
Пусть функция f(x) задана в виде таблицы yi = f (xi ) , i=0,1,…n с постоянным шагом h . Предположим, что эта функция может быть аппроксимирована интерполяционным многочленом Ньютона:
Этот многочлен можно продифференцировать по х с учётом правила дифференцирования сложной функции:
В результате можно получить формулы для вычисления производных любого порядка. Например:

Пусть та же функция может быть аппроксимирована интерполяционным многочленом Лагранжа. Рассмотрим интерполяционный многочлен Лагранжа для случая трёх узлов интерполяции (n=2):
Этот многочлен можно продифференцировать по х , тогда первая производная будет иметь следующий вид:
В частности,
1.1.3 Использование конечно разностных соотношений для аппроксимации производных
Производной функции y = f ( x ) в точке x 0 называется предел при D x ® 0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует). Для обозначения производной функции y=f(x) в точке x0 используют символы y '( x 0 ) или f '( x 0 ) . То есть, по определению,
(1.1)
Аппроксимацией (приближением) производной с помощью отношения конечных разностей называется соотношение (1.2) в котором значения D у , D х конечные, в отличие от их бесконечно малых значений в (1.1).
(1.2)
Пусть функция задана таблично с постоянным шагом h .
x0 x1 x2 … xn
y0 y1 y2 … yn
В зависимости от способа вычисления конечных разностей можно получить разные формулы для вычисления производных в одной и той же точке. Например, для нахождения производной y 1 ' можно использовать формулы левых, правых и центральных разностей, которые имеют следующий вид соответственно:'
D y1 =y1 - y0 , D x=h, y1 '=(y1 - y0 )/h;
D y1 =y2 - y1 , D x=h, y1 '=(y2 - y1 )/h;
D y1 =y2 - y0 , D x=2h, y1 '=(y2 - y0 )/2h.
Аналогично можно найти выражения для определения старших производных. Например:
y 1 ''=( y 1 ')'=( y 2 ' - y 1 ')/ h =(( y 2 - y 1 )/ h - ( y 1 - y 0 )/ h ) h =( y 2 - 2 y 1 + y 0 )/ h 2 .
Оценим погрешность численного дифференцирования с помощью рассмотренных конечно-разностных соотношений. Для этого аппроксимируем функцию f ( x ) некоторой функцией j ( x ) , т.е. представим её в виде
f ( x )= j ( x )+ R ( x ). (1.3)
В качестве j ( x ) можно принять частичную сумму ряда или интерполяционную формулу. Тогда погрешность аппроксимации R ( x ) определяется остаточным членом ряда или интерполяционной формулы. Аппроксимирующая функция j ( x ) может быть использована для приближённого вычисления производной. Дифференцируя равенство (1.3) необходимое количество раз, можно найти значение производной f ( l ) ( x )= j ( l ) ( x )+ R ( l ) ( x ) . Величина R ( l ) ( x )= f ( l ) ( x ) - j ( l ) ( x ) называется погрешностью аппроксимации производной.
При численном дифференцировании функции, заданной в виде таблицы с шагом h , эта погрешность зависит от h и её записывают в виде O ( hk ). Показатель степени k называют порядком погрешности аппроксимации производной. При этом предполагается, что | h | <1 .
Оценку погрешности легко проиллюстрировать с помощью ряда Тейлора:
Пусть функция f ( x ) задана в виде таблицы f ( xi )= yi , i =0,1,… n . Запишем разложение этой функции в ряд Тейлора при x = x 1 , D x = - h с точностью до членов ряда порядка h :
y 0 = y 1 - y 1 ' h + O ( h 2 ).
Отсюда можно найти значение производной в точке x = x 1 :
y1 ' = (y1 - y0 )/h + O(h2 )/h = (y1 - y0 )/h + O(h).
Эта формула совпадает с формулой нахождения производной с помощью левых разностей и имеет первый порядок точности.
Аналогично, при x = x 1 , D x = h получается выражение для нахождения производной с помощью правых разностей, которая также имеет первый порядок точности:
y 1 ' = ( y 2 - y 1 )/ h + O ( h ).
Используем теперь ряд Тейлора для оценки погрешности аппроксимации производной с помощью центральных разностей. Полагая D x = - h и D x = h при x = x 1 , можно получить:

Вычитая первое равенство из второго, получаем
Откуда можно получить выражение для нахождения производной с помощью правых разностей, которая имеет второй порядок точности:
y 1 ' = ( y 2 - y 0 )/2 h + O ( h 2 ).
Складывая оба равенства, можно оценить погрешность аппроксимации производной второго порядка:
y1 '' = (y2 ' - 2y1 '+y0 ')/h2 + O(h2 ).
Эта аппроксимация имеет также второй порядок точности.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию