Різницевий метод розв язування звичайних диференціальних рівнянь

Розглянемо задачу:
[0, 1] розіб'ємо на n частин, ,
Розглянемо розклади
Із (3),(4) одержимо
(5),(6),(7) – різницеві співвідношення, які апроксимують 1,2 похідну. Використовуючи різницеві співвідношення (5),(6),(7) апроксимуючи оператори L , l одержимо задачу:
Щоб порівнювати фунції u (h) i u , f (h) i f , введем норму
Означення 1:
Оператор L h (l ) апроксимує на функції u оператор L (l ) з порядком апроксимації К , якщо , що має місце:
Означення 2:
f h () апроксимує f () з порядком апроксимації К , якщо , що має місце:
Означення 3:
Різницева схема (8), (9) апроксимує крайову задачу (1), (2) з порядком апроксимації к, якщо виконуються умови (10-13).
Розглянемо апроксимацію оператора крайових або початкових умов.
Відзначимо, що розв'язок задачі (14-15) задовільняє і ряд тривіальних умов. Наприклад:
Оператор апроксимуєм різницевим оператором
Враховуючи, що , одержимо:
, тобто
Щоб одержати апроксимацію вищого порядку, треба використовувати тривіальні умови
Використаємо тривіальні умови для визначення ; із рівняння
Замість задачі (14), (15) можем розглядати задачу
тому, що розв'язок задачі (14-15) однозначно визначається умовами (14), (16).
Для підвищення порядку апроксимації можна користуватись ще формулами:
Метод прогонки
Виберемо сітку х0 , х1 …х N , x0 =a, xn =b, h=(b-a)/n
Різницеву схему (3), (4) перетворимо до вигляду:
Розглянутий метод називається різницевим методом прогонки.
Якщо різницева задача (5),(6) має вигляд:
То проводячи аналогічні викладки одержимометод правої прогонки, якщо
то метод буде стійким до похибки округлень
Якщо виконуються умови:
то можна застосовувати метод лівої прогонки, який буде стійкий до похибок заокруглень
Приклад: знайти розв'язок задачі
в точках х n =0, 1n, n=0,1,…10
Розв'язок:
Практична задача апроксимується на сітці х n =0, 1n, n=0,1,…10 різницевою схемою
Для розв'язку використовуємо метод правої прогонки
1) Знаходимо прогоночні коефіцієнти:
2) Значення у n обчислюємо по співвідношенням

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию