Дослідження однокрокових методів розв язання звичайних диференційн

В данній курсовій роботі розглядаються методи чисельного розв’язання звичайних диференціальних рівнянь з початковими умовами. Ілюстрацією є програма на мові Паскаль, що знаходить таблицю значень шуканої функції за простим, виправленим та удосконаленим методами Ейлера з оцінкою похибки

ЗМІСТ
Зміст
Вступ.
1. Теоретичні відомості
2. Огляд та аналіз методів розв`язання системи диференціальних рівнянь, вибір методів рішення
3. Блок-схема алгоритму
3.1. Алгоритми методів Ейлера
3.2. Алгоритм головної програми
4. Результати роботи програми
Висновки
Використані джерела інформації

ВСТУП
Головним методом дослідження складних процесів та систем сьогодні став обчислювальний експеримент, що оснований на побудові та аналізі комп’ютерної моделі об’єкта, який вивчається.
Метод математичного моделювання дозволяє виключити необхідність виготовлення громіздких фізичних моделей, зв'язану з матеріальними витратами; скорочувати час визначення характеристик (в особливості при розрахунку математичних моделей на ЕОМ і застосуванні ефективних обчислювальних методів і алгоритмів ); вивчати поводження об'єкта моделювання при різних значеннях параметрів; аналізувати застосовність різних елементів ; одержувати характеристики і показники; які складно знімати експерементально (кореляційні , частотні, параметричної чутливості).
Дана курсова робота й має на меті надати початкових навичок у математичному моделюванні та у вирішені задач обчислювальної математики.

1. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
Постановка задачі
Звичайне диференціальне рівняння має безліч рішень. Для відшукання якого-небудь конкретного рішення вимагаються додаткові умови. Ці умови можуть бути різними. У випадку, коли додаткові умови задаються при одному значенні незалежної зміною, має місце задача Коші (задача з початковими умовами). Якщо ж умови задаються при двох чи більш значеннях незалежної змінної, то задача називається крайовию. У задачі Коші додаткові умови називаються початковими, а в крайовій-краєвими. При рішенні цих задач використовуються різні методи й алгоритми.
Сформулюємо задачу Коші.
Нехай дане диференціальне рівняння
у' = f (x, y);
і початкова умова y(0)=у . Потрібно знайти систему точок на відрізку від х=а до х=b з кроком h , що задовольняє як вказаному рівнянню, так і початковій умові (при цьому завжди передбачається, що існує єдине рішення на усьому відрізку).
Крайову задачу розглянемо на прикладі звичайного диференціального рівняння другого порядку
y” = f (x, y, у' )
при граничних умовах у(а)=А, у(b)=В. Методи рішення рівнянь більш високих порядків аналогічні.
Вибір методу рішення задачі Коші. При порівнянні ефективності однокрокових і багатокрокових методів можна виділити наступні особливості.
1. Багатокрокові методи вимагають великого обсягу пам'яті ЕОМ, тому що оперують великою кількістю вихідних даних.
2. При використанні багатокрокових методів існує можливість оцінки погрішності на кроці. Тому величина кроку вибирається оптимальної, а в однокрокових з деяким запасом, що знижує швидкодію.
3. При порівнянні точності багатокрокові методи вимагають великого обсягу обчислень. Наприклад, застосовуючи метод Рунге-Кута четвертого порядку точності, доводиться обчислити чотири значення функції на кожнім кроці, а для забезпечення збіжності методу прогнозу і корекції того ж порядку точності - два.
4. Однокрокові методи, на відміну від багатокрокових, дозволяють почати рішення задачі (самостартування) і легко змінити крок у процесі рішення.
Перед початком рішення задачі необхідно зробити перевірку на і у випадку позитивного результату застосувати спеціальні методи. Якщо задача Коші дуже складна, то звичайна перевага віддається методу прогнозу і корекції, що володіє до того ж більш високим швидкодією. Початок рішення задачі при цьому виробляється за допомогою однокрокових методів. Якщо для обчислення чергового значення yi потрібно більше двох ітерацій, чи якщо помилка відсічення занадто велика, то необхідно зменшити величину кроку h . З іншого боку, при дуже малій погрішності усікання можна збільшити крок, тим самим підвищивши швидкодію, але при цьому весь процес рішення виробляється спочатку. Іноді на практиці потрібно мінімізувати час підготовки задачі до рішення. Тоді доцільно використовувати методи Рунге-Кута.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию