Метод виокреслення лінійно незалежних векторів

1.Нехай V – не порожня підмножина векторів із Rm , коли з умов А є V, В є V випливає, що при L є R, B є R вектор La+ Bb є V.
Візьмемо систему векторів а1 , а2 ..., аn , що належать Rm . Множина всіх лінійних комбінацій цих векторів.
а=Х1 а1 +Х2 а2 +...Хn an ,Xs є R(1) утворює лінійний підпростір V у Rm .
Справді, якщо а= в=, Хs ,Ys є R
а, в є V, то виконується рівність
La+Bb =, тобто La+Bb є V.
Підпростір V, утворений лінійними комбінаціями виду (1), називається лінійною оболонкою системи векторів а1 , а2 ,...,аn , або підпростором, породженим векторами а1 , а2 ,...,аn .
2.Означення: Упорядкована сукупність m дійсних чисел а1 , а2 ,...аm називається m-вимірним вектором.
Числа а1 , а2 ,...аm називаються кординатами вектора а. Число m називається розмірністю вектора а. Перехід від запису вектора у вигляді стовпця до запису у вигляді рядка на навпаки називається транспортуванням вектора.
Означення: Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати.
Означення: Множина всіх m-вимірних векторів називається m-вимірним простором і назначається Rm .
Векторні простори R1, R2 ,R3 можна розглядати відповідно як множину векторів на прямій, множину векторів на площині та множину векторів у тривимірному просторі.
Означення: Вектори а1 , а2 ,...,аn називаються лінійно незалежними, якщо рівність Х1 а1 +Х2 а2 +...Хn an = О (1)
виконується лише при Х1 = 0, Х2 = 0,..., Хn =0.
Якщо рівність (1) досягається тоді, коли коефіцієнти Х1 , Х2 ,...Хn не перетворюються одночасно на нуль, то вектори а1 , а2 ,...,аn . у одновимірному векторному просторі R, тобто на прямій, будь-який ненульовийвектор є лінійно незалежним, а будь-які два вектори вже лінійно залежні.
3.Означення: Найбільше число r лінійно незалежних вектора у системі векторів а1 , а2 ,...,аn називається її рангом і позначається
r= rank (а1 , а2 ,...,аn ).
Якщо ранг системи n векторів дорівнює R(r<n), то будь-які (r+1) векторів цієї системи лінійно залежні. Число L = n-r називається дефектом системи векторів.
Обчислюючи ранг системи векторів, можна транспортувати вектори, тобто замінювати вектори – стовпці векторами – рядками. У результаті транспортування ранг системи векторів не змінюється.
Щоб обчислити ранг системи векторів, виокреслюємо в ній лінійно незалежні вектори.
З огляду на сказане дістаємо такий метод виокреслення лінійно незалежних векторів.
1.У заданій системі векторів а1 , а2 ,...,аn відшукуємо вектор, в якого перша координата відмінна від нуля. Якщо всі перші координати векторів а1 , а2 ,...,аn дорівнюють нулю, то шукаємо вектор, в якого друга координата відмінна від нуля, і т.д. Нехай це буде вектор а1 .
2.Множимо вектор а1 на Ві (і=2,...,n) і віднімаємо від вектора аі (і=2,...,n) так, щоб вибрана координата перетворилася на нуль.
3.Зі здобутих векторів ві = аі – Ві аі (і= 2,..., n) знову виокремлюємо вектор, лінійно незалежний від інших векторів, способом, зазначеним у nю 1 і 2.
Кількість лінійно незалежних векторів дорівнює рангу системи векторів.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию