Задачі, що приводять до похідної

План:
Задачі, що приводять до похідної.
Означення похідної.
Геометричний та механічний зміст похідної.
Рівняння дотичної і нормалі до графіка кривої.
Частинні похідні функції декількох змінних, їх геометричний зміст.
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ . ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ТА ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
1. Вступні відомості
Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно, а закон руху її задається деякою функцією
(6.1)
1. Поставимо задачу: знайти швидкість точки в момент часу .
Нехай в деякий момент часу точка займала положенням (рис.6.1).Через проміжок часу точка займе положення і пройде шлях .
Відношення
(6.2)
називається середньою швидкістю руху точки.
Означення. Швидкістю точки в момент часу називається границя середньої швидкості на проміжку часу , коли прямує до нуля:
(6.3)
Зазначимо, що формула дає змогу знайти швидкість у момент часу тільки тоді , коли існує границя цього відношення.
Рис.6.1
2. Задача про дотичну до кривої. З поняттям дотичної до кривої в даній точці ми зустрічалися при вивченні кола за шкільною програмою, за якою давалося означення дотичної до кола як прямої лінії, що має з колом одну спільну точку. Проте це означення є окремим випадком. Його не можна поширити, наприклад, на незамкнуті криві. Тому треба дати загальне означення дотичної, яке б підходило як до замкнутих, так і до незамкнутих кривих.
Нехай маємо деяку довільну криву (рис.6.2, 6.3). Візьмемо на цій кривій точки та і через них проведемо пряму , яку називатимемо січною. Якщо точка переміщатиметься вздовж кривої, то січна повертатиметься навколо . Нехай , рухаючись вздовж кривої, наближається до точки , тоді довжина хорди прямує до нуля. Якщо при цьому й значення кута прямує до нуля, то пряма називається граничним положенням січної .
Рис.6.2 Рис.6.3
Означення. Дотичною до кривої в точці називається граничне положення січної , якщо точка прямує вздовж кривої до злиття з точкою .
Зауважимо, що яким би чином точка не наближалася по кривій до точки , січна повинна при цьому наближатися до того самого граничного положення (до тієї самої прямої). Тільки в цьому випадку кажуть, що в точці крива має дотичну. Граничне положення січної може не існувати.
Із рисунка (6.2) видно, з якого б боку точка по кривій не рухалася б до точки , січна , обертаючись навколо точки , при цьому наближається до тієї самої прямої . Якщо січна наближається до різних прямих (рис.6.3), залежно від того, з якого боку , то кажуть, що в даній точці
дотичної до кривої не існує. Так дотична до кривої в точці не існує, бо коли точка і знаходиться справа від , то січна наближається до прямої , а коли і знаходиться зліва, то січна наближається до прямої .
Розглянемо випадок, коли крива задана в декартовій системі координат рівнянням:
, (6.4)
де - неперервна функція на деякому проміжку .
Нехай графік цієї функції (крива ) має вигляд, зображений на рис.6.4. Візьмемо на кривій точку і застосуємо наведене вище означення дотичної до цієї кривої в точці . Для цього на кривій візьмемо точку . Позначимо її координати через ( відповідно прирости і , вони можуть бути і від’ємними числами). Через точки і
Рис.6.4
проведемо січну і продовжимо її до перетину з віссю . Кут, який утворює січна з додатним напрямом осі , позначимо через . Тоді
. (6.5)
Нехай точка прямує вздовж кривої до злиття з точкою . Тоді координати точки наближаються як завгодно близько відповідно до координат точки ,
Тобто
, . (6.6)
Із співвідношень (6.6) випливає, що і , якщо точка .
Нехай , тоді й (внаслідок неперервності функції , а отже, точка ). Припустимо, що розглядувана крива в точці має дотичну .
Нехай , Тоді точка наближається по кривій до злиття з точкою , а січна , обертаючись навколо точки , наближатися до свого граничного положення - прямої , яка згідно з припущенням, і є в цьому випадку дотичною до кривої в точці .
Продовжимо дотичну до перетину з віссю і позначимо кут, який утворює ця дотична з додатним напрямом осі через . Тоді кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює . З другого боку, якщо , то кут прямує до кута .
Отже, внаслідок неперервності тангенса , проте . Тому приходимо до такого співвідношення:
. (6.7)
Ми довели: якщо крива , де - неперервна на проміжку функція, має в точці дотичну
, (6.8)
то кутовий коефіцієнт дотичної визначається співвідношенням
. (6.9)
Досить важливі задачі з механіки, фізики, геометрії можна розв’язувати за допомогою граничного переходу у відношенні при , тобто за допомогою границі
(6.10)
Тому доцільно вивчити цю границю, зокрема вказати способи її обчислення. При цьому треба величини і розглядати абстрактно, не вкладаючи в них конкретного змісту, тоді й границя (6.10) (в математиці називається похідною) буде абстрактною величиною.
2. Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної
1. Нехай функція задана на деякому інтервалі . Візьмемо довільну точку і надамо довільного приросту (число може бути як додатнім, так і від’ємним), але такого, щоб точки і належали інтервалу . Обчислимо в точці приріст функції :
.
Означення. Якщо існує границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що прямує до нуля, тобто
,
то ця границя називається похідною від функції в точці
. (6.11)
Для похідної застосовують і такі позначення: або (Лейбніц); або (Коші). У подальшому користуванні позначенням(6.11), яке вперше запропонував французький математик Лагранж.
Якщо функція має похідну в кожній внутрішній точці проміжку , то похідну позначатимемо або, що те саме, .
Таким чином, якщо - фіксована точка проміжку , то похідна , якщо вона існує, є число. Якщо похідна існує в кожній точці , то є функція від .
2. Легко з’ясувати механічний зміст похідної, а саме величина швидкості в даний момент часу дорівнює похідній від пройденого шляху по часу , тобто , або, якщо , то .
3. Геометричний зміст похідної. Нехай і - координати точки, взяті на кривій, яку задано рівнянням . Тоді похідна дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до кривої в точці з координатами .
4. Правило знаходження похідної. Щоб знайти похідну від функції у точці , треба:
1) значенню надати довільного приросту , тобто ввести до розгляду точку ;
2) знайти приріст функції у точці ;
3) знайти відношення
;
4) знайти границю відношення
.
Якщо ця границя існує то вона й дорівнює похідній .
Зауважимо, що коли похідну треба знайти у будь-якій точці , то правило залишається те саме, тільки замість всюди ставимо .

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию