Матричные игры

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………….……………………...…3
1.ТЕОРИЯ ИГР...………………………………………………………………………………3
2.ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР……………………………………………………………....4
3.АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ………………………………………………………….6
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………………………….9
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………10
ВВЕДЕНИЕ
Математическая теория игр является составной частью исследования операций. Она применяется в различных областях человеческой деятельности, таких как экономика и менеджмент, промышленность и сельское хозяйство, военное дело и строительство, торговля и транспорт, связь и т.д.
Зачастую человек осуществляя какую-либо деятельность, сталкивается с проблемой принятия решения в условиях множества факторов, влияющих на само решение. Эффективней всего в подобных случаях пользоваться матричными играми, которые помогают упростить сложившуюся ситуацию и полностью оценить важность каждого фактора.
Принятие решения в условиях неопределенности – это одна из задач теории оптимальных решений. Для решения подобных вопросов разработаны специальные математические методы, которые рассматриваются в теории игр.
1. ТЕОРИЯ ИГР
Теория игр впервые была систематически изложена Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном в 1994 г., хотя отдельные исследования в этой области публиковались ещё в 1920 годах. Нейман и Моргенштерн написали книгу, которая содержала в основном экономические примеры, т.к. описать конфликт легче в числовой форме. После второй мировой войны всерьез теорией игр заинтересовались военные, т.к. увидели в ней аппарат для исследования стратегических решений. Затем внимание снова переключилось на экономические проблемы. Сейчас ведется большая работа, направленная на расширение сферы применения теории игр.
Теория игр – это теория математических моделей, интересы участников которых различны, причем они достигают своей цели различными путями. Столкновение противоположных интересов участников приводит к возникновению конфликтных ситуаций. Необходимость анализировать такие ситуации была причиной возникновения теории игр, задачей которой является выработка рекомендаций к рациональным действиям участников конфликта.
Чтобы исключить трудности, возникающие при анализе конфликтных ситуаций и в результате наличия многих факторов, строится упрощенная модель ситуации. Такая модель называется игрой. Конфликтная ситуация в игровой модели развивается по определенным правилам. Примерами таких игр являются хорошо известные нам шахматы, шашки и карточные игры.
Различают три виды причин неопределенности результата игры:
1. Комбинаторные (наиболее распространенным примером являются шахматы). Особенностью этого вида выступает разнообразие развития игры, что влечет за собой не возможность предсказания её результатов.
2. Влияние различных факторов (чаще встречается в азартных играх, такой как рулетка). Здесь исход игры зависит от случайных причин.
3. Стратегические: неопределенность результата игры состоит в отсутствии информации о действиях противника и его стратегии.
2. ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР
Теория матричных игр позволяет нам рассматривать и с легкостью решать задачи принятия решений в ситуациях с несколькими участниками, когда значение целевой функции для каждого зависит также и от решений, принимаемых остальными участниками. Поэтому важная роль в матричных играх отводится конфликтам и совместным действиям.
Характерная черта всякого общественного, социально-экономического явлений состоит множественности и многосторонности интересов и в наличии сторон, выражающих эти интересы. Классическим примером подобной ситуации является столкновение интересов покупателя и продавца, т.е когда на рынок выходят несколько производителей, обладающих достаточной силой для воздействия на цену товара. Более сложные ситуации возникают при наличии объединений и коалиции лиц на рынке, участвующих в столкновении интересов, например, когда ставки заработной платы определяются союзами или объединениями предпринимателей, при анализе результатов голосования в парламенте.
Конфликт может возникнуть из-за различия целей, которые отражают не только несовпадающие интересы, но и многосторонние интересы одного и того же лица. Например, разработчик экономической политики обычно преследует множество целей, согласуя противоречивые требования, такие как рост объемов производства, повышение доходов. Так же конфликт может проявиться не только в результате сознательных действий участников, но и как результат действий тех или иных стихийных сил (ярким примером данного вида являются «игры с природой»). Данные случаи конфликтом могут встретиться как в социологии, так и в психологии, биологии, политологии, военном деле. Самыми простыми примерами матричных игр являются карточные и спортивные игры.
Каждая модель социально-экономического явления должна отражать черты конфликта, т.е. описывать:
множество заинтересованных сторон (в теории матричных игр их называют игроками, т.е. сторонами, участвующими в конфликте. Так же их называют субъектами, сторонами, участниками).
возможные действия каждой из сторон, именуемые стратегиями или ходами. («Ход» - выбор одного из предложенных правилами игры действий; «стратегия» - план, по которому игрок совершает выбор в любой ситуации и т.д.)
интересы сторон, представленные функциями выигрыша (платежа) для каждого из игроков («выигрыш» - исход конфликта).
В теории матричных игр предполагается, что функция выигрыша и множества стратегий, доступна и известна каждому из игроков, т.е. каждый игрок знает свою функцию выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий, а также функций выигрыша и стратегий все остальных игроков, и в соответствии с этой информацией организует свое поведение.
Классификация игр
Различные виды игр можно классифицировать по числу игроков, числу стратегий, свойствам функции выигрыша, возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.
В зависимости от числа игроков различают игры с двумя, тремя и более участниками. В теории оптимизации представлены игры как с одним игроком, так и с бесконечным числом игроков.
Согласно другому принципу классификации – по количеству стратегий – различают конечные и бесконечные игры. В конечных играх игроки располагают конечным числом возможных стратегий. Сами стратегии в конечных играх нередко называются чистыми стратегиями. Соответственно, в бесконечных играх игроки имеют бесконечное число возможных стратегий. Так в примере с продавцом и покупателем каждый из игроков может назвать любую устраивающую его цену и количество продаваемого (покупаемого) товара.
Третий способ классификации – по свойствам функций выигрыша (платежных функций). Особым случаем в теории игр является ситуация, когда выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого (т.е. прямой конфликт между игроками). Подобные игры называют играми с нулевой суммой или антагонистическими играми. Примерами данных игр являются игры в орлянку. Прямой противоположностью играм такого типа являются игры с постоянной разностью, в которых игроки и выигрывают, и проигрывают одновременно. Между этими крайними имеются множество игр с ненулевой суммой, где имеются и конфликты, и согласованные действия игроков.
В зависимости от возможности предварительных переговоров между игроками различают кооперативные и некооперативные игры. Игра называется кооперативной, если до начала игры игроки образуют коалиции и принимают взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях. А игры, в которых игроки не могут координировать свои стратегии, называются некооперативными. Необходимо отметить, что все антагонистические игры могут служить примером некооперативных игр.
3. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ
Антагонистические игры являются разновидностью матричных игр, в которых выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. Их ещё называют играми с нулевой суммой.
Наиболее часто приводимым примером игр с ненулевой суммой является игра «Дилемма заключенного». Суть игры состоит в том, что два преступника ожидают приговора суда за содеянное. Адвокат конфиденциально предлагает каждому из преступников облегчить его участь, если он сознается и даст показания против сообщника, которому грозит угодить в тюрьму за совершенное преступление на 10 лет. Если никто не сознается, то обоим угрожает заключение на определенный срок (например, 1 год) по обвинению в незначительном преступлении. Если сознаются оба то преступника, то, с учетом чистосердечного признания, им обоим грозит попасть в тюрьму на 5 лет. Каждый заключенный имеет на выбор 2 стратегии: не сознаться или сознаться, выдав при этом сообщника.
Обобщим выше сказанное: 1 игрок – сознаться или не сознаться и 2 игрок – сознаться или не сознаться. В итоге можно получить следующую матрицу «выигрышей» для обоих игроков:
.
Решение антагонистических игр
Основным допущением при решении данных игр является то, что каждый игрок стремится обеспечить себе максимально возможный выигрыш при любых действиях партнера.
В игре могут участвовать как два игрока (её называют парной), так и множество. Но наибольшее практическое значение имеют парные игры, в которых участников обозначают за A и B. Простейшим видом стратегической игры – игра двух лиц с нулевой суммой (т.е. сумма выигрышей сторон равна нулю).
Игра состоит из двух ходов: игрок A выбирает одну из своих возможных стратегий ( i = 1, 2, …, m ), а игрок B выбирает стратегию ( j = 1, 2, .., n ), причем каждый участник делает выбор в полной ситуации незнании выбора другого игрока. В результате выигрыши и каждого из игроков удовлетворяют соотношению
, откуда если , имеем .
Цель игрока – максимизировать функцию , а игрока В – минимизировать эту же функцию. Каждый из игроков может выбирать одну из переменных, от которых зависит значение функции. Если игрок А выбирает некоторую из стратегий , то это может влиять на значение функции . Влияние на величину значения является неопределенным, а определенность имеет место только после выбора, например, игроком B переменной (при этом определяется другим игроком).

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию